극한값을 구하다 보면 식을 복잡하게 여러번 변형하거나, 정말 이런 변형을 인간이 딱 보고 한번만에 어떻게 할 수 있을까? 싶은 정도의 심한 문제들이 있습니다. 그럴 때 로피탈의 정리를 한 번 적용해 보세요. 로피탈의 정리를 모든 극한값 문제에 써먹을 수는 없지만 그래도 극한값 문제의 대표적인 headache 극한값이 0/0 그리고 무한대/무한대 가 되는 문제에 주로 사용할 수 있습니다.
이 글에서는 로피탈 정리를 증명하지 않고 그냥 써먹는 방법을 소개해 드리겠습니다. 예를 들어서 위와 같은 극한값을 구하는 문제에서는 x가 0으로 갈 때 분자도 0, 분모도 0으로 가서 0/0꼴이 됩니다, 즉 극한값을 바로 구할 수가 없습니다. 이럴땐 그냥 분자를 미분하고 또 따로 분모를 미분한 다음 x를 0으로 보내주면 됩니다. 그럼 한 번 해 봅시다. 분자를 미분하면 Cos(x), 그리고 분모를 미분하면 그냥 1, 따라서 각각 미분한 것을 정리하면 Cos(x)/1 이 됩니다. 이 결과에서 x를 0으로 보내 주면 극한값은 Cos(0)/1 해서 1이 됩니다. 그래서 답은 1입니다.
이게 바로 로피탈 정리의 사용법입니다. 간단히 정리하자면 극한이 0/0꼴이나 무한대/무한대 꼴일 때 그 함수의 극한값은 분자와 분모를 각각 따로 미분한 다음 극한값을 구한 것이랑 같습니다. 한 번 미분한 다음에 그래도 0/0이나 무한대/무한대 꼴이 나오면 또 한번 더 분자와 분모를 각각 따로 미분하시고 나서 극한값을 구하면 되겠습니다, 그래도 계속 0/0 이나 무한대/무한대가 나오면 계속 반복!!!. 물론 다음 글(로피탈 정리 #2)에서 설명드릴 건데 아무리 0/0 또는 무한대/무한대 꼴이라도 로피탈 정리가 통하지 않을 때가 있습니다. 아무리 반복해서 미분해도 계속 돌고 도는 그런 형태, 로피탈을 썼는데 그 결과가 발산하는 형태, 또 로피탈 정리를 써서 더 복잡해지는 경우 등등이 있습니다. 그래도 느낌상 한 90% 이상의 경우에는 잘 작동하는 것 같습니다. 저는 이 로피탈 정리를 사용해서 극한값을 구하는 법을 과외선생님께 배웠습니다. 그래서 그 선생님이 아직도 고맙습니다. 일반적으로 로피탈 정리가 통할 때가 더 많지만 혹시나 출제자가 그 사실을 이용(?)해서 로피탈 정리가 잘 통하지 않는 그런 문제를 낼 수도 있습니다. 그러니까 이러한 0/0 또는 무한대/무한대꼴의 극한 문제를 시험에서 만난다면 일단은 교과서적인 방법으로 먼저 생각해 보고 너무 힘들면 로피탈을 사용하기를 추천 드립니다.
로피탈 정리를 사용하여 극한값을 구하는 방법
위에서 제가 로피탈 정리를 통해 답을 구하는 과정을 너무 간단히 소개해 드린 것 같은데 좀 더 체계적으로 보충설명을 하자면
- 분수꼴로 나타내어진 함수(또는 함수의 한 부분)의 극한이 0/0꼴이나 무한대/무한대 꼴이고
- 분모의 미분값이 극한 근처에서 0이 아니고 (극한에서는 상관없음)
- 분자와 분모가 각각 따로 미분가능하며
- 그 각각 미분한 것을 다시 분수꼴로 놓았을 때 일정한 극한값(0, 무한대, 또는 상수)이 존재하면
- 원래 함수의 극한값은 #4에서 구한 극한값이랑 같습니다.
- 만약 #4에서 구한 함수의 극한값이 또 다시 0/0 또는 무한대/무한대 꼴이면 #4에서 구한 그 함수를 원래함수처럼 생각하고 #1부터 다시 반복하면 됩니다.
- 만약에 #4에서 구한 극한값이 0도 아니고, 무한대도 아니고, 상수도 아니고 이상한 값들, 예를 들어 -1 과 1 사이를 왔다갔다하는 값이 나오면 로피탈 정리를 쓸 수 없으니 미분전 상태인 #1로 되돌아가서 다른 방법으로 풀어야 합니다.
로피탈 정리를 사용할 때 주의할 점 그리고 팁
- #1에서 설명했듯이 함수(또는 함수의 한 부분)이 0/0 또는 무한대/무한대 꼴이 아니면 로피탈의 정리를 쓸 수 없습니다!!!
- #4에서 극한값도 구하지 않고 계속 미분이 가능하다고 해서 끝까지 로피탈을 써서 미분해서는 안됩니다. #6에서 설명했듯이 #4에서 극한값을 꼭 먼저 구해보고 그 꼴이 0/0 또는 무한대/무한대일 때만 또 다시 로피탈을 쓸 수 있습니다.
- #6에서 예를 들어 0/0꼴이 나와도 로피탈을 다시 쓰지 않고 혹시 그 식을 변형하여 극한값을 구할 수 있으면 그냥 구하면 됩니다.
- #6에서 다시 #1로 돌아가 로피탈을 썼는데 그 결과가 원래 주어진 함수와 같다면 뱅글뱅글 도는 형태입니다. 적절할 때 식을 변형하여 극한값을 구하세요.
- 로피탈을 사용했는데 하면 할 수록 답은 안 나오고 0/0 또는 무한대/무한대 꼴을 유지하며 항들이 자꾸 불어나는 경우는 로피탈 사용하시지 말고 식의 변형등을 이용해서 푸세요
- 로피탈을 사용했는데 그 결과가 Sin[x] 또는 Cos[x]등과 같이 극한으로 가면서 계속 줄어듦이 없이 요동치는 경우는 로피탈 사용하시지 마시고 원래의 식을 변형해서 푸세요.
자 그럼 몇개의 예들을 더 보여드리겠습니다. 우선 위의 #1 조건이 안 맞는 경우부터 보여드리겠습니다.
# 극한값이 0/0 또는 무한대/무한대가 아니라서 로피탈 정리가 안 통하는 경우입니다.
아래의 경우는 x가 1로 갈 때 분자는 0이 되지만 분모는 1이 되어서 극한값은 바로 0이 되는 case입니다. 이 경우는 0/0꼴이 아니라서 로피탈 정리를 사용할 수 없고 그냥 x에다 1을 대입한 값으로 쉽게 극한값을 구할 수 있습니다.
만약에 위와 같은 경우 로피탈 정리를 사용해서 분자와 분모를 각각 미분하여 극한값을 구하면 정답이 아닌 오답을 얻을 수가 있습니다. 위 문제의 답은 0/1해서 0인데 이 문제를 로피탈로 풀려고 하면 아래와 같이 오답을 얻습니다.
# 극한값이 무한대/무한대가 되는 경우
위와 같은 경우 그냥 교과서에서 배운데로 x의 제곱으로 분자와 분모를 각각 나누어서 풀어도 되지만 무한대/무한대 꼴이기 때문에 로피탈 정리를 한 번 써 보겠습니다. 우선 아래에서 보듯이 분자와 분모를 각각 미분하여 x를 무한대로 보내면 그 결과는 또 무한대/무한대 꼴이 되는 것을 알 수 있습니다.
이렇게 로피탈을 한 번 사용한 결과가 또 무한대/무한대(또는 0/0) 꼴이면 또 한 번 더 로피탈을 써주면 됩니다. 위의 경우 분자와 분모를 다시 한 번 각각 미분하면 마지막 답인 1/3을 아래와 같이 얻을 수 있습니다. 근데, 로피탈 쓸 때 답이 나오면 그만 미분하셔야 합니다. 예를 들어 아래 보기에서 분자의 2와 분모의 6을 또 각각 미분하여 0/0으로 하면 안됩니다.
# 로피탈의 정리가 유용하게 쓰이는 다양한 경우들
수능에 나올만한 로피탈을 사용한 극한문제는 로피탈 정리 #3에 정리해 두었고 다양한 유형의 로피탈을 사용한 극한값 구하기 예들은 위키피디아 로피탈의 정리를 보시면 나와있습니다. 참고하시기 바랍니다.
# 그래프로 나타내 보기
그럼 위에서 다룬 몇가지 함수들의 그래프를 그려보고 그 극한값을 한 번 표시해 보겠습니다. 여러분들, 그래프는 정말 중요합니다. 문제를 이해하는데 도움이 되고 또 결과를 설명하는데 엄청난 도움이 됩니다. 그러니까 그래프를 그릴 수 있으면 항상 그려보는 버릇을 들이세요. 왠만한 답은 다 그래프 안에 있습니다. 아 그리고 이 글 제일 마지막 부분에 오늘의 문제 있습니다. 한 번 풀어보세요!
로피탈에 대한 감이 좀 오나요? 그럼 오늘의 마지막 문제입니다. 여러분들 한 번 풀어보세요.
Hint:
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