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고등수학

원주율 100자리 그리고 1000자리 원주율 100자리와 1000자리 복사 가능한 text와 image로 된 표입니다. # 원주율 100자리 까지 text (소수점 이하 100자리까지 나옴 - 101자리에서 반올림하지 않았음)3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 # 원주율 100자리 표 (소수점 이하 109자리까지 나옴) # 원주율 1000자리 까지 text (소수점 이하 1000자리까지 나옴)3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328.. 더보기
각도에 따른 삼각함수 값 + 외우기 팁 # 외우기 팁우선 사인함수는 0도일 때 0이고 90도일 때 1이다.30도 45도 60도에서 사인 함수는 분모가 모두 2이고 분자는 루트1, 루트2, 루트3 순으로 증가. *루트1 = 그냥 1, 루트2분의 1 = 2분의 루트2코사인 함수는 사인 함수의 역순이다.탄제트 함수는 사인 나누기 코사인 함수로 외우든지 아니면 처음에 0 그리고 루트3이 밑 그리고 1 그리고 루트3이 위, 그리고 마지막으로 무한대. 더보기
음수 곱하기 음수는 양수인 이유 이번에는 음수 곱하기 음수가 양수인 이유를 분배법칙을 사용하여 한 번 보여드리겠습니다. 이러한 증명방법은 벌써 널리 알려져 있겠지만 이 글에서 사용된 증명방식은 이 곳(http://jwilson.coe.uga.edu/emat6680/brown/6690/negneg.htm)을 참조하였습니다. 어떠한 수 k를 아래와 같이 세개의 항의 합으로 표현을 합시다. 위쪽 그룹에 있는 식에서는 k를 우선 첫번째와 두번째 항에 있는 3으로 뒤에서 묶어주고 계산한 결과이고, 아랫쪽 그룹에 있는 k는 두번째와 세번째 항에있는 음수 2로 앞에서 묶어주고 계산한 결과입니다. 순전히 결합법칙만 사용한 계산 결과 같은 수 k는 (-2 x -3) 또는 (2 x 3)으로 나타내질 수 있습니다. 따라서 (-2 x -3) = (2 x 3.. 더보기
삼각함수 근사 극한값에 써먹기 (Small-angle approximation) 증명은 생략하는데 극한값을 구하는데 있어서 이런 유용한게 있습니다. Small-angle approximation(작은 각도 근사)이라고 삼각함수에서 도(degree)가 아닌 라디안으로 된 각이 아주아주 작을 때 Sin, Tan, Cos은 각각 다음과 같이 표현될 수 있습니다. x를 라디안으로 된 각이라고 하면 x가 아주아주 작을 때 Sin[x]는 그냥 x랑 같고, Tan[x]의 값도 x랑 같고, Cos[x]의 값은 \(1-\frac{x^2}{2} \) 랑 같습니다. 그래서 이게 무슨 말이냐고 하면 x가 0에 가까운 아주 작은 숫자 예를 들어 0.0000123 이라고 하면 Sin[0.0000123] =0.0000123 그리고 Tan[0.0000123]=0.0000123, and Cos[0.0000123].. 더보기
로피탈 정리 #3: 예제 문제풀이 아래에 몇가지 로피탈을 사용할 수 있는 문제들과 풀이를 모아 봤습니다. "풀이 OPEN"를 누르시면 풀이가 열리고 "풀이 CLOSE"를 누르시면 close합니다. 로피탈 정리의 극한값에 대한 적용방법은 지난 글 로피탈의 정리 #1과 로피탈의 정리 #2에 자세히 나와 있습니다. #문제 1: 함수가 \(f(x)=\frac{Log(2 x)}{2}\) 로 주어질 때 다음의 극한값을 구하여라.$$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{f(2 h+e)-f(e-6 h)}{h}$$ 수디툴로 정답 확인 #문제 2: 다음의 극한값을 구하여라.$$\underset{x\to +0}{\text{lim}}\frac{Log(x)}{Log(Sin(x))}$$수디툴로 정답 확인 #문제 3: 다음의 극한값을 구하.. 더보기
로피탈 정리 #2: 무턱대고 사용하면 큰 코 다치는 4가지 유형들 로피탈 정리 #1에서도 말씀 드렸듯이 아무리 0/0 또는 무한대/무한대 꼴의 극한값 문제라도 무턱대고 로피탈을 사용할 수 없는 경우도 있습니다. 보통 이런 경우는 교과서적 방식으로 식의 변형을 통하여 극한값을 바로 구하든지 아니면 로피탈을 조금 쓰다가 적절 할 때 식을 변형시켜 답을 구해주면 됩니다. 이 번 글에서는 무턱대고 로피탈을 사용하면 큰 코 다치는 4가지 유형들에 대해서 한 번 알아보겠습니다. 좀 더 많은 유형의 로피탈 문제는 로피탈 정리 #3에 정리해 두었습니다. #1: 로피탈을 몇 번 사용한 결과가 다시 원함수로 되돌아 가는 경우보통 이런 경우는 로피탈을 두 번 이상 사용한 값이 원래 함수로 되돌아 가는 경우입니다. 따라서 아무리 로피탈을 써도 계속 뱅글뱅글 순환하는 케이스입니다. 예를 들어.. 더보기
로피탈 정리 #1: 극한값 구하기 극한값을 구하다 보면 식을 복잡하게 여러번 변형하거나, 정말 이런 변형을 인간이 딱 보고 한번만에 어떻게 할 수 있을까? 싶은 정도의 심한 문제들이 있습니다. 그럴 때 로피탈의 정리를 한 번 적용해 보세요. 로피탈의 정리를 모든 극한값 문제에 써먹을 수는 없지만 그래도 극한값 문제의 대표적인 headache 극한값이 0/0 그리고 무한대/무한대 가 되는 문제에 주로 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 로피탈 정리를 증명하지 않고 그냥 써먹는 방법을 소개해 드리겠습니다. 예를 들어서 위와 같은 극한값을 구하는 문제에서는 x가 0으로 갈 때 분자도 0, 분모도 0으로 가서 0/0꼴이 됩니다, 즉 극한값을 바로 구할 수가 없습니다. 이럴땐 그냥 분자를 미분하고 또 따로 분모를 미분한 다음 x를 0으로 보내주면 .. 더보기
0!=1인 이유 (0팩토리얼이 1인 이유) 팩토리얼은 보통 시작하는 수에 그 보다 낮은 수를 차례로 곱해서 원하는 값을 얻는데, 예를 들어 4!의 값은 4x3x2x1이 됩니다.그럼 영(0, zero)의 팩토리얼, 0! 의 값은 뭘까요? 같이 한 번 찾아봅시다. 아래에서 보는 것과 같이 4!은 4 곱하기 3!로 나타낼 수 있습니다.자 이제 위의 논리를 1!에다 적용시키면 아래와 같이 1! 은 1 x (1-1)! 이 되고 그 결과는 다시 1! = 1 x 0! 로 나타낼 수 있습니다. 따라서 식의 왼쪽변에 있는 1!이 1이기 때문에 오른쪽에 있는 0!는 받드시 1이 되어야 등식이 성립합니다. 따라서 0!=1이 되겠습니다. QED! 더보기
2의 0승이 1인 이유 자 오늘은 2의 0승이 1이 되는 이유를 간단히 보여 드리겠습니다. 우선 아래에서 보는 것과 같이 2의 3승 나누기 2의 2승은 2의 (3-2)승, 즉 2의 1승입니다. 이번엔 4 나누기 4를 한 번 해보겠습니다. 일단 분모와 분자가 같으니까 답은 1이고 분모와 분자를 위의 식처럼 거듭제곱근을 사용해서 표현하면 2의 2승 나누기 2의 2승, 즉 2의 (2-2)승, 다시 고치면 2의 0승이 됩니다. 이미 답이 나왔습니다만 위의 식을 다시한번 2의 0승부터 표현해 주면 아래와 같이 2의 0승은 1이라는 답을 얻게 됩니다. 같은 풀이방법이지만 다음과 같이 표현할 수도 있습니다. 마지막 줄에있는 2의 0승은 1이라는 답을 얻기 위해 두번째줄의 왼쪽과 오른쪽을 2의 1승으로 나누어 주었습니다. 위와 같은 방식을 .. 더보기

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