삼각함수 근사 극한값에 써먹기 (Small-angle approximation)

증명은 생략하는데 극한값을 구하는데 있어서 이런 유용한게 있습니다.  Small-angle approximation(작은 각도 근사)이라고  삼각함수에서 도(degree)가 아닌 라디안으로 된 각이 아주아주 작을 때 Sin, Tan, Cos은 각각 다음과 같이 표현될 수 있습니다.  x를 라디안으로 된 각이라고 하면 x가 아주아주 작을 때 Sin[x]는 그냥 x랑 같고, Tan[x]의 값도 x랑 같고, Cos[x]의 값은 \(1-\frac{x^2}{2} \) 랑 같습니다.  

그래서

이게 무슨 말이냐고 하면 x가 0에 가까운 아주 작은 숫자 예를 들어 0.0000123 이라고 하면 Sin[0.0000123] =0.0000123 그리고 Tan[0.0000123]=0.0000123, and Cos[0.0000123] = \(1-\frac{0.0000123^2}{2}\), 즉 0.9999999 가 된다는 소리입니다.  이게 왜 유용하냐고 하면 삼각함수값을 구하지 않고 바로 그 값을 알 수 있고 또 x가 0으로 가는 극한값 문제에서 식을 변형시킬 때 삼각함수를 없애서 식을 쉽게 만들어 주기 때문입니다.  아래의 예와 같이 x가 0으로 가면 Sin[x]=x가 됩니다.  그래서 이 극한값 문제에서 Sin[x]를 x로 놓으면 분모와 바로 cancel out 되기 때문에 1이라는 답을 쉽게 찾을 수 있습니다.  로피탈도 쓸 필요없고 참 유용한 삼각함수의 성질입니다.

자 그럼 이 small-angle approximation 을 사용하여 풀수 있는 극한 값 문제 몇 개 소개해 드리겠습니다.

# 문제: 다음의 극한값을 구하세요.