로피탈 정리 #2: 무턱대고 사용하면 큰 코 다치는 4가지 유형들

로피탈 정리 #1에서도 말씀 드렸듯이 아무리 0/0 또는 무한대/무한대 꼴의 극한값 문제라도 무턱대고 로피탈을 사용할 수 없는 경우도 있습니다.  보통 이런 경우는 교과서적 방식으로 식의 변형을 통하여 극한값을 바로 구하든지 아니면 로피탈을 조금 쓰다가 적절 할 때 식을 변형시켜 답을 구해주면 됩니다.  이 번 글에서는 무턱대고 로피탈을 사용하면 큰 코 다치는 4가지 유형들에 대해서 한 번 알아보겠습니다.  좀 더 많은 유형의 로피탈 문제는 로피탈 정리 #3에 정리해 두었습니다.

#1: 로피탈을 몇 번 사용한 결과가 다시 원함수로 되돌아 가는 경우

보통 이런 경우는 로피탈을 두 번 이상 사용한 값이 원래 함수로 되돌아 가는 경우입니다.  따라서 아무리 로피탈을 써도 계속 뱅글뱅글 순환하는 케이스입니다.  예를 들어서 x가 양의 무한대(+무한대)로 갈 때 \(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) 의 극한값 한번 구해 보겠습니다.  일단 기분을 좋게하기 위해서 그래프 부터 한 번 그려 보겠습니다.  왜 기분이 좋아지냐구요? ㅎㅎ 그래프를 보면 답을 알수있으니까요.

그래프를 딱 보는 순간 벌써 답이 나옵니다.  극한값은 x가 양의 무한대로 갈 때는 +1, 음의 무한대로 가면 -1인 것 같습니다.  그치만 참고 한 번 풀어 봅시다.  원래의 함수  \(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)에 x 대신 양의 무한대를 넣으면 무한대/무한대꼴이 나옵니다.  그렇기 때문에 로피탈을 쓸 수 있는 조건이 되고 한 번 써 보겠습니다.  아래와 같이 분자와 분모를 각각 미분하여 정리한 다음 x에다 양의 무한대를 넣으면 또 무한대/무한대 꼴이 됩니다.

그래서 로피탈을 한 번 더 써 보겠습니다.  즉 처음 로피탈을 적용한 결과 \(\lim_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\) 에다 로피탈을 한 번 더 적용시키겠습니다.

근데 이게 웬일입니까?  로피탈을 두 번 사용했을 때 결과가 원래 함수와 같은 꼴이 되어버렸습니다.  결국 이 함수는 로피탈을 적용시키면 아래와 같이 계속해서 뱅글뱅글 제자리로 돌아 갑니다.  그렇기 때문에 로피탈을 사용해서 답을 구하시면 아니 됩니다.

그럼 이런 문제는 어떻게 풀어야 하나요?  원래 함수의 식을 알맞은 꼴로 변형시켜 푸시면 됩니다.  한 번 해 보겠습니다.  아래에서 보시는 것과 같이 분모의 루트안에 있는 x제곱을 밖으로 빼서 분자의 x랑 먼저 cancel out 시켜주고 x에다가 양의 무한대를 넣으면 답 1이 나옵니다.

#2: 로피탈을 사용했는데 그 값이 이상하게 나오는 경우 (답도 아니고, 0/0꼴도 아니고, 무한대/무한대 꼴도 아닌 경우)

로피탈을 한 번 사용했는데 그 값이 딱 떨어지지도 않고, 0/0꼴도 아니고, 그렇다고 무한대/무한대 꼴도 아닌 경우가 있습니다.  이런 경우에는 로피탈을 사용해서는 아니 됩니다.  예를 들어서 함수 x가 무한대로 갈 때 \(\frac{x+\sin (x)}{x}\) 값을 한 번 알아 봅시다.  물론 아래와 같이 식을 정리하여 바로 풀어서 답인 1을 구해도 됩니다.

또는 그래프를 그려서 x가 무한대로 갈수록 함수값이 요동을 하면서 점점 작아져서 1로 되는 경향을 볼 수도 있습니다.  

자 그럼 로피탈을 한 번 적용해 보겠습니다.  로피탈을 적용 시켰을 때 결과는 아래에서 보듯이 Cos[x]가 들어 있어서 계속 요동하는, 딱 떨어지지 않는 그런 형태입니다.  아래 그래프에서 보듯이 그 값이 줄어들지도 않고 그냥 계속 fluctuating 합니다.  

이렇게 로피탈을 쓴 값이 수렴하지 않고 계속 요동을 치면 로피탈을 사용해서는 아니 됩니다.  다시 정리하자면, 로피탈을 사용했을 때 나온 값이 딱 떨어지지 아니하고, 또는 0/0 or 무한대/무한대 꼴이 아니면 로피탈을 사용하지 마세요.

#3: 로피탈을 사용했는데 완전 복잡해지는 경우: 웬만하면 다른 방법 시도하세요

로피탈을 한 번 사용했는데 답은 바로 안 나오고 점점 더 미분해야하는 것들이 많아지는 경우는 다른 방법도 한 번 시도해 보세요.  예를 들어서 아래에서 보듯이 원식은 간단하게 보이지만 로피탈을 세번씩이나 써서 답을 구했습니다.  꼴이 0/0꼴이기 때문에 로피탈을 사용할 수 있지만 미분하면 할 수록 정말 눈덩이처럼 항들이 불어납니다.  이런 경우는 적당히 식을 변형시켜서 답을 구하세요. 

#4: 무한대/무한대 또는 0/0 꼴이 아닌 경우!!!!!

이런 경우는 당연히 로피탈의 정의에 의하여 로피탈을 쓸 수가 없기 때문에 시도조차 하지 말아야 하지만 로피탈에 빠져있다 보면 가끔씩 무조건 로피탈부터 쓰려는 그런 나쁜 습관이 생깁니다.  조심하세요!!!  이 글 1편에서도 말씀드렸지만 무한대/무한대 또는 0/0 꼴이 아닌 극한 문제에 로피탈을 쓰면 틀린답을 얻을 수가 있습니다.  어쩌다 재수로 맞는 답이 나올 수도 있겠지만 근본적으로 틀린 답이 나옵니다.  그러니 진짜로 조심하세요.  예를 들어 아래의 경우는 x가 1로 갈 때 분자는 0이 되지만 분모는 1이 되어서 극한값은 바로 0이 되는 case입니다.  이 경우는 0/0꼴이 아니라서 로피탈 정리를 사용할 수 없고 그냥 x에다 1을 대입한 값으로 쉽게 극한값을 구할 수 있습니다.

만약에 위와 같은 경우 로피탈 정리를 사용해서 분자와 분모를 각각 미분하여 극한값을 구하면 정답이 아닌 오답을 얻을 수가 있습니다.  위 문제의 답은 0/1해서 0인데 이 문제를 로피탈로 풀려고 하면 아래와 같이 오답을 얻습니다.

# 문제: 다음의 극한값을 구하세요.

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이번 글에서 말씀드리고 싶은 요점은 로피탈의 사용이 힘든 경우를 만나면 빨리 알아차리고 식의 변형등 다른 방법으로 초점을 맞추라는 것입니다.  그럼 다시 한번 이글의 1편에서 소개해 드린 로피탈을 사용하여 극한값을 구하는데 필요한 가이드라인을 한 번 적어보겠습니다.   이 가이드라인만 잘 따라주면 로피탈을 안전하게 또 유용하게 잘 이용하실 수 있으리라 생각합니다.  다음 글 로피탈의 정의 #3은 문제풀이 section입니다.

로피탈 정리를 사용하여 극한값을 구하는 방법

1. 분수꼴로 나타내어진 함수(또는 함수의 한 부분)의 극한이 0/0꼴이나 무한대/무한대 꼴이고 
2. 분모의 미분값이 극한근처에서 0이 아니고 (극한에서는 상관없음)
3. 분자와 분모가 각각 따로 미분가능하며
4. 그 각각 미분한 것을 다시 분수꼴로 놓았을 때 일정한 극한값(0, 무한대, 또는 상수)이 존재하면
5. 원래 함수의 극한값은 #4에서 구한 극한값이랑 같습니다. 
6. 만약 #4에서 구한 함수의 극한값이 또 다시 0/0 또는 무한대/무한대 꼴이면 #4에서 구한 그 함수를 원래함수처럼 생각하고 #1부터 다시 반복하면 됩니다.  
7. 만약에 #4에서 구한 극한값이 0도 아니고, 무한대도 아니고, 상수도 아니고 이상한 값들, 예를 들어 -1 과 1 사이를 왔다갔다하는 값이 나오면 로피탈 정리를 쓸 수 없으니 미분전 상태인 #1로 되돌아가서 다른 방법으로 풀어야 합니다.

로피탈 정리를 사용할 때 주의할 점 그리고 팁

• #1에서 설명했듯이 함수(또는 함수의 한 부분)이 0/0 또는 무한대/무한대 꼴이 아니면 로피탈의 정리를 쓸 수 없습니다!!!
• #4에서 극한값도 구하지 않고 계속 미분이 가능하다고 해서 끝까지 로피탈을 써서 미분해서는 안됩니다.  #6에서 설명했듯이 #4에서 극한값을 꼭 먼저 구해보고 그 꼴이 0/0 또는 무한대/무한대일 때만 또 다시 로피탈을 쓸 수 있습니다.  
• #6에서 예를 들어 0/0꼴이 나와도 로피탈을 다시 쓰지 않고 혹시 그 식을 변형하여 극한값을 구할 수 있으면 그냥 구하면 됩니다.
• #6에서 다시 #1로 돌아가 로피탈을 썼는데 그 결과가 원래 주어진 함수와 같다면 뱅글뱅글 도는 형태입니다.  적절할 때 식을 변형하여 극한값을 구하세요.
• 로피탈을 사용했는데 하면 할 수록 답은 안 나오고 0/0 또는 무한대/무한대 꼴을 유지하며 항들이 자꾸 불어나는 경우는 로피탈 사용하시지 말고 식의 변형등을 이용해서 푸세요.
• 로피탈을 사용했는데 그 결과가 Sin[x] 또는 Cos[x]등과 같이 극한으로 가면서 계속 줄어듦이 없이 요동치는 경우는 로피탈 사용하시지 마시고 원래의 식을 변형해서 푸세요.